TEMEL KAVRAMLAR

 

Rakam:

 

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanlarına rakam denir.

 

Doğal Sayılar Kümesi:

 

N = { 0,1,2,3,4,5,6,...} kümesine doğal sayılar kümesi denir.

 

Sayma Sayıları Kümesi:

 

N+ = { 1,2,3,4,5,6,7,8,...} kümesine sayma sayılar kümesi veya pozitif doğal sayılar kümesi denir.

 

Pozitif Tamsayılar Kümesi:

 

Z+ = {1,2,3,4,5,6,7,8,...} kümesine pozitif tamsayılar kümesi denir.

 

Negatif Tamsayılar Kümesi:

 

Z- = { ...,-6,-5,-4,-3,-2,-1 } kümesine negatif tamsayılar kümesi denir.

 

Tamsayılar Kümesi:

 

Z = { ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... } kümesine tamsayılar kümesi denir.

 

Z = Z+ U {0} U Z-

 

Rasyonel Sayılar Kümesi : Q

 

Q  = { : a,b tamsayı ve b≠ 0}

 - , 2 , , 0 ,-7, ... gibi

 

İrrasyonel Sayılar Kümesi : Q'

 

Rasyonel olmayan ( a/b şeklinde yazılamayan) veya

virgülden sonrası düzensiz devam eden

( kök dışına tam çıkmayan ) sayılara denir.

, ,  e, , ... gibi

 

5.  Reel ( Gerçel ) Sayılar Kümesi : R

 

Rasyonel sayılarla İrrasyonel sayıların bir araya gelmesiyle oluşur.

R = Q U Q'  dir.    ..., 5 , 0 , , , , ... gibi

 

 

 

TAMSAYILARDA DÖRT İŞLEM

 Tamsayılarda Toplama İşlemi:

İşaretleri aynı olan tamsayılar için toplama işlemi yapılır. İşaret olarak ortak işaret ve sayısal sonuç olarak da sayıların işaretsiz toplamı alınır.

 

Örnek:

 2 + 4 + 3 = + 9 = 9

 

Örnek:

- 5 - 7 - 2 - 4 = - 18

 

Tamsayılarda Çıkarma İşlemi:

İşaretleri farklı olan tamsayılar için çıkarma işlemi yapılır. İşaret olarak büyük sayının işareti alınır ve sayısal değer olarak  da büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır.

 

Örnek:

 4 - 3 = + 1 = 1

 

Örnek:

3 - 4 = - 1

 

İkiden fazla sayı söz konusu olduğunda, çıkarma işlemi şöyle yapılır:

Aynı işaretli sayılar kendi aralarında toplanır ve daha sonra da çıkarma işlemi uygulanır.

 

Örnek:

3 - 4 + 5 - 2 - 7 = ( 3 + 5 ) - ( 4 + 2 + 7)

                         = 8 - 13

                         = - 5

 Tamsayılarda Çarpma İşlemi:

İki tamsayının çarpımında şu kurallar geçerlidir:

 

1. İşaretler aynı ise, sonuç pozitiftir. Yani,

(+) . (+) = (+)

(-) . (-) = (+)

 

2. İşaretler farklı ise, sonuç negatiftir. Yani,

(-) . (+) = (-)

(+) . (-) = (-)

 

İki veya ikiden fazla tamsayının çarpımında genel kural: İşareti belirleyen (-) işaretlerinin sayısıdır:

 

1. (-) işaretlerinin sayısı, tek sayıda ise, sonuç (-)

 

2. (-) işaretlerinin sayısı, çift sayıda ise, sonuç (+)

 

 

Örnek:

(+2 ). (+4) = +8

 

(-2 ). (-4) = +8

 

(-2 ). (+4) = - 8

 

(+2 ). (-4) = - 8

 

Örnek:

2 . (-3) . 5 . (-2) = + 60 = 60

 

Örnek:

-2 . (-3) . (-5) = - 30

 Tamsayılarda Bölme İşlemi:

Bölme işleminde işaret kuralı, çarpma işlemiyle aynıdır.

 

1. İşaretler aynı ise, sonuç pozitiftir. Yani,

     (+) : (+) = (+)

     (-) : (-) = (+)

 

2. İşaretler farklı ise, sonuç negatiftir. Yani,

      (+) : (-) = (-)

      (-) : (+) = (-)

 

Örnek:

(+4):(+ 2) = +2

 

(-4 ):( -2 )= +2

 

(+4 ):(-2) = -2

 

(-4) : (+2) = -2

 

Örnek:

=?

 

Çözüm:

-5-9+7-8+11=18-22=-4

 

Örnek:

=?

 

Çözüm:

 

 

 

 

 

 ÜS (KUVVET) ALMA

 

a ?? R ve n ?? N+ olmak üzere,

 

    a.a.a. ... .a= an

 

şeklindeki n tane a nın çarpımına, üslü ifadeler denir ve a nın n inci kuvveti şeklinde okunur.

 

Örnekler:

 a2 = a.a                  12 = 1.1 = 1

 

22 = 2.2 = 4           (-2)3=(-2).(-2).(-2)=-8

 

-34=-3.3.3.3=-81    x3 = x.x.x

 

 23 = 2.2.2 = 8     

 

Özellikleri:

 

1. Sıfırdan farklı bir sayının, sıfırıncı kuvveti 1 dir. ,               

                    

                             a0 = 1

 

Örnekler:

 

 10 = 1           10000 = 1         20 = 1

 

             (-5)0 = 1

 

2. Herhangi bir sayının 1 inci kuvveti, o sayının kendisine eşittir.

                     

                      a1 = a 

 

Örnekler:

01 = 0                                11 = 1

 

       21 = 2                 (-3)1 = -3

 

3. 1 sayısının herhangi bir kuvveti, 1 dir.                                             

                     

   1n = 1

 

Örnekler:

 

10=1,   12=1,     , 1100=1

 

4. -1 in tek kuvvetleri -1, çift kuvvetleri +1 dir.

 

      (-1)2n+1=-1  ve      (-1)2n=+1

 

Örnekler:

 

(-1)5=-1,    (-1)102=1,        (-1)-17= -1

 

5. Üslü bir sayının kuvvetini almak için, taban alınıp üs ile kuvvetin çarpımı üs olarak alınmalıdır.       

                 

                (a m)n  = am.n   dir.

 

Örnek:

(23 )2 =23.2 = 26 = 64

 

Örnek:

(-1)10+(-1)11+(-1)12-(-1)13=?

 

Örnek:

50+1103-(-1)2007+(32)2=?

 

İşlem Önceliği:

İşlem yapılırken aşağıdaki sıralama izlenir:

1. Üslü sayı varsa üs alınır.

2. Parantezler varsa ise en içteki parantezden başlanır.

3. Bölme işlemi

4. Çarpma işlemi

5. Toplama veya çıkarma

 

Örnek:

 3 - ( - 5 - ( - 4)) = ?

 

Çözüm:

 3 - ( - 5 - ( - 4)) =3-(-5+4) = 3-(-1)= 3+1= 4

 

Örnek: 

[ 10 - ( - 2)3] = ?

 

Çözüm:

 10 - ( - 2)3 =10-(-8)=10+8=18

 

Örnek: 

(-2)3 -(-2)5 = ?

 

Çözüm:

(-2)3 -(-2)5 = -23 -(-25) = -8 -(-32) = -8+32 = +24

 

Örnek: 

x - [(5x - 4y) - (-2x + 3y)] = ?

 

 

 

Çözüm:

 x-[5x-4y+2x-3y] = x-(7x-7y)

 

                             = x-7x+7y

                          

                             = -6x+7y

 

Örnek: 

(-2)2 . (-22) + (-2)4 = ?

 

Çözüm:

 (-2)2 . (-22) + (-2)4 = 4 . (-4) + 16 = -16+16 = 0

 

Örnek: 

10 . [(12.3):(-6)] - (25-32)2 . 4 = ?

 

Çözüm:

10. [(12.3):(-6)]- (25-32)2 . 4

 

=10 . [36:(-6)] - (-7)2 .4

 

 = 10 . (-6) - 49 . 4

 

= -60 - 196 = -256

 

Örnek:ÖSS-2006

5-(-2+3)=?

 

Çözüm:

5-(-2+3)=5-1=4

 

 

Örnek:

=?

 

Çözüm:

 

=[(-6)+(-6)]:(-3)+(-11)

=(-12):(-3)+(-11)

=4-11

=-7

 

Örnek:

=? 

Çözüm:

 

=(-5)+(-7).(3)

=(-5)+(-21)

=-26

 

 

 

 

 

 

POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR:

 

a > 0 ise a pozitif sayı   

 

a < 0 ise a negatif sayı demektir.

 

1. Pozitif sayıların üssü ne olursa olsun, sonuç pozitiftir. Yani,

 

a > 0 ise   an  pozitiftir(+)

 

2. Negatif sayıların üssü çift ise, sonuç pozitiftir. 

  

   Negatif sayıların üssü tek ise, sonuç negatiftir.

 

      a < 0   ise     a2n   pozitiftir(+)

  

      a < 0 ise    a2n+1  negatiftir(-)

 

Örnek:

(-2)4 = (-2).(-2).(-2).(-2) = + 16

 

Örnek:

(-2)3 = - 23 = - 2.2.2 = - 8

 

3. Sayı ister negatif isterse pozitif olsun üs çift ise sonuç her zaman pozitiftir.

 

            a2n > 0    Pozitiftir(+)

 

Örnek: 

a4.c < 0, b.c4 < 0, a.b >0 ise, (a,b,c) üçlüsünün işaretlerini tespit ediniz.

 

Çözüm:

a4.c < 0 ise  a4 pozitif  olduğundan c negatiftir

 

b.c4 < 0 ise c4 pozitif  olduğundan b negatiftir

 

a.b >0 ve b negatif olduğundan, a negatif olmalıdır.

Dolayısıyla, (a,b,c) üçlüsünün işaretleri (-,-,-) olur.

 

Örnek:

x2.y9 < 0,  ise, (x,y,z) üçlüsünün işaretlerini tespit ediniz.

 

Çözüm:

x2.y9 < 0 ise x2 pozitif olduğundan  y negatiftir.

 

 ise  z4  pozitif  olduğundan x pozitiftir

 

 ise  x12  pozitif olduğundan z negatiftir.

Dolayısıyla, (x,y,z) üçlüsünün işaretleri (+,-,-) olur.

 

Örnek: 

a < b < 0 < c < d olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir?

A) a.b     B) c.d     C)      D)      E)  

 

Çözüm:

A) a ve b negatif olduğundan, a.b = (-).(-) = + olur.

 

B) c ve d pozitif olduğundan, c.d = (+).(+) = + olur.

 

C) d pozitif, a negatif ve c pozitif olduğundan,

  • (d-a) = (+) - (-) = (+) + (+) = (+) olur.
  • Dolayısıyla, = = (+) olur.

D) c ve d, c < d olacak şekilde pozitif sayılar

 

olduğundan, (c-d) = (+) - (+) = (-) olur.

 

 Dolayısıyla,  =  = (+) olur.

E) d > c olduğundan, (d-c) = (+) - (+) = (+) dir.

 

b > a olduğundan, (b-a) = (-) - (-) = (-) + (+) = (-)

 Dolayısıyla,  =  = (-) olur.

Bu nedenle, cevap (E) şıkkı olmalıdır.

 

Örnek: 

a, b, c tamsayılar olmak üzere, a.b = -5, b.c = -6 ve a.b.c < 0 ise,  2a -7b -c = ?

 

Çözüm:

a.b = -5 ve b.c = -6 olduğuna göre, b nin mutlaka -1 olması gerekir. Bu takdirde,

 

a = 5 ve c= 6 olur ve a.b.c < 0 şartını da sağlar.

 

Dolayısıyla,

 

2a-7b-c = 2.5-7.(-1)-6 = 10+7-6 = 17-6 = 11 olur.

 

Örnek:

 x < y < 0 < z ise, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir ?

 

A) y-x       B) z-x     C) z-y      D) (x-y)2     E) x+y-z

 

Çözüm:

A) y = -1 ve x = -2 olsun.

 

y-x = -1-(-2) = -1+2 = +1 = 1 olur. Yani, pozitiftir.

 

B) z = 1 ve x = -2 olsun.

 

z-x = 1-(-2) = 1+2 = 3 olur. Yani, pozitiftir.

 

C) z = 1 ve y = -2 olsun.

z-y = 1-(-2) = 1+2 = 3 olur. Yani, pozitiftir.

 

D) (x - y)2 ifadesi daima pozitiftir. Çünkü, üssü çifttir.

 

E) x = -2, y = -1 ve z = 1 olsun.

x+y-z = -2+(-1)-1 = -2-1-1 = -4 olur.

Daima negatif olur.

 

Dolayısıyla, doğru seçenek (E) şıkkıdır.

 

Örnek:

a< b< 0< c olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir?

A )  B )  C )  D )  E)

 

Örnek:       

(c-a).(c-b)< 0      ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) c<a<b  B) b<a<c  C) c<b<a  D) a<c<b E) a<b<c

 

 

2000 ÖSS:

 > 0 , < 0  ve > 0

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

 

A ) a+b>0    B ) b >0    C ) b >a    D ) a >c   E ) c >b

 

Örnek:

a2.b5> 0  b2.c < 0   a - c < 0

ise a, b, c nin işaretleri sırasıyla nasıldır?

 

Örnek:

a, b, c sıfırdan farklı üç reel sayı olmak üzere aşağıdakilerden kaç tanesi sıfıra eşit olabilir?

 

I.   a+b+c                 II.  a2+b6+c10

 

III. a2+b2+c3            IV. a2+b2+c2 - 2ab

 

ARDIŞIK SAYILAR

 

Belli bir kurala göre ard arda  gelen sayılara ardışık sayılar denir.

 

1,2,3,4,......

5,10,15,20,....

3,6,9,12,....

x,x+4,x+8,x+12,.....

 

Ardışık Tamsayılar:

Belli bir sayıdan başlayarak 1 er 1 er artan sayılara ardışık sayılar denir.

 

nÎZ olmak üzere

n , n+1 , n+2 , n+3 ,n+4 ,.......gibi

 

Ardışık iki tamsayı arasındaki fark 1' dir

 

Ardışık Çift Tamsayılar:

Belli bir çift sayıdan başlayarak 2 şer 2 şer artan sayılara ardışık çift tamsayılar denir.

 

nÎZ olmak üzere,

Çift sayılar "2n" ile gösterilir

 

2n , 2n+2 , 2n+4 , 2n+6 , 2n+8, .....gibi

 

Ardışık iki çift tamsayı arasındaki fark  2' dir.

 

Çift tamsayılar kümesini açıkça,

Ç = {...-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...} şeklinde gösterebiliriz.

 

 

Ardışık Tek Tamsayılar:

Belli bir tek sayıdan başlayarak 2 şer 2 şer artan sayılara ardışık tek tamsayılar denir.

 

nÎ Z olmak üzere,

Tek sayılar "2n+1" ile gösterilir.

 

2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7, ...gibi

 

Ardışık iki tek tamsayı arasındaki fark, 2' dir.

 

Tek tamsayılar kümesini açıkça,

T = {...-3,-1, 1, 3, 5, 7, ...} şeklinde yazabiliriz. 

 

Örnek:

Ardışık üç doğal sayının toplamı 63 ise bu sayılardan en büyük olan kaçtır?

 

Çözüm:

I. sayı  : n

II.sayı  : n+1

III.sayı : n+2  olsun. Üç sayının toplamı yazılır ise

n + n+1 + n+2 =63

              3n + 3=63

                    3n=63-3

                     3n=60

                      n=20

 Büyük olan sayı: n+2 = 20+2 = 22 bulunur.

 

Örnek:

Ardışık iki çift tamsayının toplamı 22 ise, bu sayıların en küçüğü kaçtır?

 

Çözüm:

Ardışık çift tamsayılar n ile n + 2 olsun. Bu sayıların toplamı

2n + 2 = 22

      2n = 22 - 2

       2n = 20

        n = 10  bulunur.

 

Örnek:

Ardışık üç tek sayının toplamı 159 ise bu sayılardan en küçüğü kaçtır?

 

Çözüm:

I.sayı : n

II.sayı : n+2

III.sayı : n+4 olsun. Üç sayının toplamı yazılır ise

n + n+2 + n+4 =159

             3n + 6 = 159

                   3n =159-6

                     3n=153

                        n=51 bulunur.

 

Örnek:

Ardışık dört çift doğal sayının toplamı 180 ise en büyük sayı  kaçtır?

 

Çözüm:

I.sayı : n  II.sayı : n+2  III.sayı : n+4  IV.sayı: n+6

n + n+2 + n+4 + n+6 = 180

                     4n + 12 = 180

                              4n = 180-12

                              4n =168

                              n = 42 bulunur.

En büyük sayı: n+6 = 42+6 = 48

 

Örnek:   

Ardışık iki tek sayının kareleri farkı 88 ise bu sayıların büyüğü kaçtır?

 

Çözüm:

I.sayı : x     II.sayı : x+2 olsun.

(x+2)2 - x2 = 88

x2 + 4x + 4 - x2 =88

               4x + 4  =88

                    4x=88-4

                      4x=84

                        x=21

Büyük tek sayı: x+2 = 21+2 = 23 bulunur.         

                               

Örnek:

4n - 7 ile 5n + 8 sayısı, ardışık iki doğal ise, n' nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

 

Çözüm:

Ardışık iki tamsayının farkı  1 dir. Ama hangisinin daha büyük olduğunu bilmediğimizden: 

(5n + 8)- ( 4n - 7 ) =1 veya  (4n-7) - ( 5n+8) =1 olur

 

I.Durum:

(5n + 8) - ( 4n - 7 ) =  1   

         5n + 8 - 4n + 7 =  1

                        n + 15 =  1

                        n =  1 - 15

                          n = - 14

II.Durum:

(4n - 7) - ( 5n + 8) =1

      4n - 7 - 5n - 8 = 1

                  -n - 15 = 1

                         -n = 1+15

                         -n = 16

                          n = -16

 

n değerlerinin toplamı :

 

   - 16 + ( - 14) = - 16 - 14 = - 30 olur.

 

 

Örnek:

Ardışık 5 tamsayının toplamı 245 olduğuna göre bu sayıların en küçüğü kaçtır?

 

Örnek:

Ardışık üç doğal sayının toplamı M dir. Bu sayılardan ortanca ile küçük olanın toplamının M cinsinden değeri nedir?

 

94 ÖYS

Ardışık iki pozitif tamsayıdan küçük olanın 3 katı ile büyük olanın 2 katının toplamı 107 dir. Buna göre küçük sayı kaçtır?

 

Örnek:

x, y, z ardışık üç tamsayı ve x>y>z dir.

Buna göre (z - x)3+(y - x)2 toplamı kaçtır?

 

Örnek:

a, b, c ardışık üç çift sayı ve a< b< c olmak üzere

(a - b).(b - c).(a+c) = 624 ise a kaçtır?

 

Örnek:

a, b, c ardışık tamsayılar ve a< b< c olmak üzere

 

ise a+b+c toplamı kaçtır?

 

Örnek:

3a - 1 ile 7a - 11 sayıları ardışık çift sayılardır.

Buna göre a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

 

2003 ÖSS

 sıralamasında birbirini izleyen sayılar arasındaki farklar eşittir. Buna göre a+b toplamı kaçtır?

 

TEK VE ÇİFT TAMSAYILAR:

 

1. Ç + Ç = Ç         Ç - Ç = Ç

2. T + T = Ç         T - T = Ç

3. Ç + T = T          Ç - T = T

4. Ç . Ç = Ç           Ç . T = Ç

5. T . T = T

6. n ÎN+ olmak üzere,    Çn = Ç,    Tn = T

7. Ardışık iki sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

 

Örnek:

Aşağıdaki sayılardan hangisi tek sayıdır?

A) 65.56  B) 53+34  C) 510-37  D) 57+27   E) 43+25

 

Çözüm:

A)   Ç.T = Ç       

B) T+T =Ç  

C) T-T =Ç   

D) T+Ç = T        

E) Ç+Ç = Ç

Doğru cevap:D

 

Örnek:

x tek , y çift doğal sayı iken aşağıdakilerden kaç tanesi çift sayıdır?

I. x2+5xy         II. y2+6x2       III. 5xy-y2   

IV. xy+y2         V. x3+y3        VI. x3-y3

 

Çözüm:

I. T+5.T.Ç = T+Ç = T      

II. Ç+6.T = Ç+Ç = Ç      

III. 5.T.Ç-Ç = Ç-Ç =Ç

IV. T.Ç+Ç =Ç+Ç =Ç       

V.T+Ç = T    

VI. T-Ç =T

 

Örnek: 

n bir tamsayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift tamsayıdır?

A) 3n   B) n2 - n  C) 2n+1   D) n2 + n - 1  E) 2n + 3

 

Çözüm:

A şıkkı n çift için çift n tek için tek

B şıkkı n2-n = n(n-1) yazılırsa ardışık iki sayının çarpımı olur. Ardışık iki sayının çarpımı çifttir.

C şıkkı n ister tek isterse çift olsun her zaman çifttir.

D şıkkı da aynı şekilde n ister tek ister çift olsun her zaman çifttir.

E şıkkı da her n için tektir.

 

Örnek:

m, n ve p tamsayılar olmak üzere,  ise, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) m tek sayıdır   B) m çift sayıdır   C) n tek sayıdır   

           D) n çift sayıdır       E) p tek sayıdır

 

Çözüm:

2m + n = 6p dir. m ve p ne olursa olsun 2m ile 6p kesinlikle çifttir. Bu takdirde, 

 

Ç + n = Ç   olduğuna göre, n nin kesinlikle çift olması gerekir.

 

Örnek:

a ,bÎN olmak üzere  ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) a tektir            B) b tektir              C) a çifttir                               

           D) b çifttir      E) a tek ise b tektir

 

Çözüm:

a(a+1) = b dir. b ardışık iki sayının çarpımı olduğundan kesinlikle çifttir.

 

Doğru Cevap:D

 

Örnek:

n pozitif bir tamsayı olmak üzere aşağıdakilerden kaç tanesi her zaman çift sayıdır?

 

I. (2000)n       II. (2001)2n       III. (2n-1)2 

IV.n2+n              V. n2 - n            VI. n+4

 

2001 ÖSS

a bir tamsayı olduğuna göre,aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?

 

A ) a -1  B ) a2+1 C ) a2+a    D ) a2-2a +1    E ) a3

 

Örnek:

a, b, c pozitif tamsayı olmak üzere

 

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A ) c çift sayıdır            B ) c tek sayıdır

 C ) a+b tek sayıdır        D ) a ve b tek sayıdır

       E ) a ve b den en az biri çift sayıdır

 

 

97 ÖSS

a, b, c çift saylar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

A )          B )           C )

             D )             E )

Örnek:

a, b, c, d tamsayı ve      a+b = c+d

ise a+b+c+d toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A ) 5          B ) 15       C ) 20       D ) 25     E ) 35

 

TERİM SAYISI VE TOPLAM

 

Terim Sayısı:

Ardışık sayıların terim sayısı,

 

Formülü ile hesaplanır.

 

Örnek:

6,10,14,.........50 dizisinin terim sayısını bulunuz?

 

Çözüm:

İlk Terim: 6, Son Terim:50 ,Artış Miktarı : 10-6 = 4

Terim Sayısı = =  = 11+1 = 12

 

Örnek:

7,10,13,...........82 dizisinin terim sayısını bulunuz?

 

Çözüm:

İlk Terim:7, Son Terim:82, Artış Miktarı : 10-7=3

Terim Sayısı =  =  = 25+1= 26  

 

Örnek:

kÎN, x=5k ve 5 < x < 96 koşuluna uyan x doğal sayıları kaç tanedir?

   

Çözüm:

Dizisinin elemanları 5 ile 96 arasındaki 5 in katlarıdır.

 

10,15,20,.............95

 

İlk Terim:10,Son Terim:95,Artış Miktarı : 15-10=5

Terim Sayısı = =   = 17+1 = 18

 

Terimlerin Toplamı:

Ardışık sayıların toplamı,

 

Toplam=

Formülü ile hesaplanır.

 

Örnek:

7+10+13+..........+82  toplamını bulunuz?

 

Çözüm:

İlk terim: 7     Son terim: 82   Artış miktarı: 10-7=3

 

Terim Sayısı =

 

Toplam=

 

Örnek:

8+12+16+........+48  toplamını bulunuz?

 

Çözüm:

İlk terim: 8   Son terim:48  Artış miktarı: 4

 

Terim Sayısı=

 

Toplam=

 

Örnek:

17  ile 186 arasında 5 ile bölünebilen kaç doğal sayı vardır?

 

Çözüm:

20+25+30+35+........+185

İlk terim: 20  Son terim: 185  Artış miktarı:5

 

Terim Sayısı =  

 

Toplam=

 

Kural-1: 1 den başlayarak belli bir sayıya kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı

 

1+2+3+........+n=  formülü ile hesaplanır.

 

 

 

Örnek:

1+2+3+........+30=

 

Kural-2: 2 den başlayarak belli bir  sayıya kadar olan ardışık çift doğal sayıların toplamı

 

2+4+6+........+2n=n.(n+1) formülü ile hesaplanır.

 

Örnek:

2+4+6+......+20=10.(10+1)=10.11=110

 

Kural-3: 1 den başlayarak belli bir  sayıya kadar olan ardışık tek doğal sayıların toplamı

 

1+3+5+........+(2n-1)=n2 formülü ile hesaplanır.

 

Örnek:

1+3+5+.....23=122=144

 

Örnek:

41+ 45+ 49+...+ 117 =?

 

96 ÖYS

102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır?

 

92 ÖSS

A= { x: 11 ≤ x < 900 , x=12k , k Ñ? N }

ise s(A) kaçtır?

 

Örnek:

 

toplamının n = 41 için sonucu kaçtır?

 

Örnek:

11+13+15+...+(2n - 1) = 375

eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?

 

Örnek:

n bir tek sayı olmak sayı olmak üzere, 9 dan n ye kadar olan tek sayıların toplamı 180 ise n kaçtır?

 

Örnek:

n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar olan sayıların toplamı x, 4 ten n ye kadar olan sayıların toplamı y dir.  x+y = 456 ise x kaçtır?

 

86 ÖYS

1 den n ye kadar olan n tane doğal sayının kareleri toplamı   T = 12+ 22+32+...+n2 dir.Bu n tane sayının her biri 1 artırılırsa T ne kadar artar?

 

Örnek:

2.2 + 3.4 + 4.6 + ... + n.2(n-1) = M

bağıntısı veriliyor. n=12 için, M toplamının her bir teriminin birinci çarpanı 2 şer azaltılırsa M toplamı kaç azalır?

 

95 ÖYS

Ardışık 15 pozitif tamsayının toplamı 2085 olduğuna göre bu sayıların en küçüğü kaçtır?

 

Örnek:

Ardışık 12 çift sayının toplamı 468 ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?

 

Tamsayı Örnekleri

 

99 ÖSS

a, b, c pozitif tamsayılar ve

a.b =  4      a.c = 12

olduğuna göre a+b+c nin en küçük değeri kaçtır?

 

Örnek:

a, b, c birer tamsayı,   ve

olduğuna göre a+b+c toplamı en az kaçtır?

 

Örnek:

a, b, c negatif tamsayılar

3a = 4b    2c = 5a

olduğuna göre a+b+c nin en büyük değeri kaçtır?

 

91 ÖSS

a, b, c pozitif tamsayılar

a - b = 1     a - c = 5

olduğuna göre a+b+c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

 

97 ÖSS

a, b pozitif tamsayılar ve 

olduğuna göre a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

 

95 ÖSS

a, b, c birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve

 ve        olduğuna göre b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

 

Örnek:

 

a, b pozitif tamsayılar ve

8a + 5 = 9b + 6

olduğuna göre a + b toplamı en az kaçtır?

 

Örnek:

x ve y birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.

3x + 4y = 63

eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y) ikilisi vardır?

 

Örnek:

x, y, z pozitif tamsayılardır.

3x + 4y + 9z = 108

olduğuna göre z en çok kaçtır?

 

Örnek:

a ve b ger çel sayı olmak üzere

a+b = 15 ise a.b aşağıdakilerden hangisi olamaz?

 

A) - 150      B) - 45       C ) - 6       D) 12       E) 60

 

Örnek:

a ve b ger çel sayı olmak üzere

a.b = 15 ise a+b aşağıdakilerden hangisi olamaz?

 

A) - 150       B) - 45       C ) - 6       D) 12      E) 60

Yorum Yaz